Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография. Виктор Иванович Шаповалов

ее элементами. Отдельные группы элементов могут образовывать подсистемы данной системы (в предельном случае подсистема может быть одна, т. е. совпадать с самой системой). Так вот, переменные Y_i в эволюционном уравнении – это переменные, описывающие связи между подсистемами. Иными словами, отдельная Y_i символизирует некоторую обобщенную характеристику коллективного движения элементов подсистемы.

      Только при таком понимании Y_i эволюционное уравнение (1) может описывать самоорганизацию. Действительно, если внешний мир изменит управляющие параметры, то процесс подстраивания системы к новым их значениям проявится в том, что элементы подсистем, представленных в (1) в виде обобщенных переменных, изменят свое коллективное движение. Это следует из того, что в (1) изменение управляющих параметров непосредственно влияет на значения Y_i, т. е. на подсистемы, а не на их элементы. Следовательно, элементам придется самопроизвольно изменить взаимодействие между собой, чтобы их коллективное движение стало соответствовать новым значениям управляющих параметров. Иначе говоря, в системе произойдет самоорганизация (см. определение самоорганизации в первой сноске на с. 5).

      Итак, в данной книге под переменными Y_i в (1) мы понимаем макроскопические переменные, соответствующие некоторым обобщенным характеристикам коллективного движения элементов системы. Напомним, что в синергетике такие переменные называются параметрами порядка [19].

      Математически создание синергетической модели, как правило, начинается с выбора параметров порядка, т. е. с выбора макроскопических переменных, количественно характеризующих основные связи в системе. Следующий шаг заключается в составлении пропорций, формирующих эти связи. Правило составления пропорций подробно описано в [19] (см. также [3]). Согласно этому правилу, увеличение некоторой величины с течением времени пропорционально приросту этой величины минус ее потери. Затем эти пропорции преобразуются в эволюционное уравнение типа (1).

      Глава 1

      Применение некоторых известных дифференциальных уравнений для создания моделей социальных и экономических систем

      1.1. Экстремальное поведение большой группы людей

      Если какой-либо объект представляет собой систему, то он обязательно подчиняется универсальным системным закономерностям. Социальные системы не являются исключением. В частности, коллективное поведение людей в простейшей экстремальной ситуации наглядно демонстрирует качества, которые могут наблюдаться в поведении, например, физических систем.

      Допустим, что в здании находится большая группа людей. В некоторый момент времени, принятый за начальный, все люди пытаются выйти из здания. Мы хотим получить закон, показывающий, как с течением времени уменьшается число людей в здании [28].

      Введем обозначения: N – количество людей, находящихся в здании в произвольный момент времени t; dN – количество людей, вышедших из здания за время dt. Сформулируем