Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография. Виктор Иванович Шаповалов

(15) с известным законом колебательного движения

      x = A sin (ωt + φ₀).

      Как видим, δ совпадает по смыслу с циклической частотой ω. Отсюда, воспользовавшись соотношением для периода колебаний T = 2π/ω, получаем формулу для промежутка времени положительного восприятия рекламы:

      

      где δ вычисляется из (8). Для определения численных значений коэффициентов, входящих в (8), возможно использование эконометрических методов.

      

      Рис. 1. Чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы

      Глава 2

      Приложение дифференциального исчисления для анализа устойчивости систем

      К настоящему времени в экономике системные закономерности наиболее подробно рассмотрены в математических моделях экономического роста крупных регионов, например городов, областей, государств (см., например, [7,14]). При этом в качестве переменных величин, как правило, выбирались национальный доход, капитал, средний уровень зарплаты, цены и т. п. Модели таких систем характеризуют результаты согласованного поведения большого количества фирм, входящих в регион. В данной главе будет проведен анализ поведения отдельной фирмы, для которой экономика региона играет роль внешней среды.

      Мы рассмотрим фирму, обладающую следующими средними (по региону) показателями: числом сотрудников и величиной оборотного капитала. Главная задача данного раздела – раскрыть важную роль управляющих параметров, которую они играют при выборе системой пути к тому или иному устойчивому состоянию.

      Вначале мы построим общую математическую модель поведения средней фирмы. Затем в качестве примера найдем устойчивые состояния предприятия, занимающегося конкретным видом деятельности, например страхованием.

      2.1. Анализ устойчивости фирмы, средней (в некотором регионе) по числу сотрудников и оборотному капиталу

      (Изложение данного раздела следует работам [26, 28].) Пусть в фирме работает Y₁ сотрудников, а ее капитал, выраженный в некоторых условных единицах, равняется Y₂. Необходимо определить, возможно ли в такой системе устойчивое состояние и какому типу устойчивости оно соответствует?

      Поиск устойчивых стационарных состояний проведем с помощью линейного анализа устойчивости. Для этого воспользуемся его схемой (см. Приложение П2.2).

      2.1.1. Начнем с составления эволюционного уравнения. Левая часть эволюционного уравнения представляет собой производные первого порядка от величин, принятых в качестве переменных (см. (П6)³). В нашем случае речь идет о Y₁ и Y₂:

      

 – скорость роста числа сотрудников;

      

 – скорость увеличения капитала фирмы.

      Сформулируем первую главную пропорцию⁴:

      скорость роста числа сотрудников (dY₁/dt) пропорциональна числу новых сотрудников минус ту ее часть, которая связана с количеством уволившихся.

      При этом количество новых сотрудников пропорционально капиталу фирмы (~Y₂, так как в среднем люди предпочитают работать в более богатой фирме), а количество уволившихся составляет некоторую долю от числа имеющихся (~Y₁). Заменяя знаки пропорции (~) на коэффициенты пропорциональности, первую главную пропорцию приводим к следующему