Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография
роли источника, а устойчивый фокус ограничивает систему сверху.
Таким образом, фирма с течением времени стремится к устойчивому состоянию, представляющему собой колебания вокруг оптимального числа сотрудников Y1* (рис. 3). Это оптимальное число сотрудников зависит от соотношения величин β и µ − соответственно коэффициента затрат на сотрудников и коэффициента, связанного с прибылью.
Рис. 2.
Рис. 3. Колебания числа сотрудников фирмы вокруг оптимального значения Y1*
2.1.6. Система уравнений (18) была записана в предположении, что коэффициент γ является постоянной величиной. В связи с этим необходимо сделать следующее замечание. Как мы видели, в каждой из описанных ситуаций всегда наступал такой момент времени, когда γ изменялся. Этот факт явно указывает на зависимость данного коэффициента от времени. Однако на практике временной промежуток, в течение которого γ изменяется заметно, оказывается значительно меньше, чем длительность существования фирмы в любой из ситуаций. Поэтому мы имели полное право в пределах отдельной ситуации полагать γ постоянным.
2.1.7. Основанная на линейном анализе устойчивости методика поиска устойчивых состояний является общей для систем, имеющих различную природу. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в разделе 2.3 рассмотрена задача, в которой так же осуществлен поиск асимптотически устойчивого стационарного состояния (т. е. аттрактора, см. раздел П5.6), но теперь уже в физической системе – генераторе Ван дер Поля. Генератор Ван дер Поля представляет собой колебательную систему с нелинейными свойствами и часто используется в теоретических исследованиях, связанных с электроникой. Как показано в разделе 2.3, в пространстве двух переменных устойчивым стационарным состоянием генератора является предельный цикл.
2.2. Математическая модель устойчивости страховой фирмы
На примере предприятия, занимающегося конкретной деятельностью, мы продемонстрируем возможности линейного анализа устойчивости для математического моделирования экономической системы.
Поставим перед собой задачу определить устойчивые состояния страховой фирмы, а также экономические показатели, от которых зависит устойчивость такой фирмы [5, 30].
Важнейшей целевой функцией любой фирмы является прибыль. Согласно классическому определению, прибыль (Y) представляет собой разность между доходом (D) и расходом (R): Y = D – R. Специфика страховой фирмы проявляется в составляющих ее дохода и расхода. Введем следующие обозначения:
N – количество клиентов;
s – страховой взнос клиента;
p – размер страховой выплаты клиенту;
Q* – количество страховых выплат.
Тогда доход фирмы равен sN, а расход – pQ*. В результате приходим к известному уравнению, характеризующему суть страхового бизнеса:
Y = sN – pQ*. (21)
2.2.1. Модель государственной страховой фирмы
Характерной