(lub jest uprawnione pod względem racji empirycznych, jeśli to jest inferencja redukcyjna), jak i materialnym, tj. tego, czy przesłanki są prawdziwe.
Co może uczynić teista, który chce bronić (1*)? Może np. skorzystać z prawa:
(5) Pa ⇒∃xPx.
Skorzystanie z niego wymaga wskazania konkretnego przedmiotu a posiadającego własność P i wywiedzenia z niego zdania „istnieje takie x, że x posiada własność P”. Tak dowodzi się np. zdania „istnieje liczba pierwsza mniejsza od 3” przez wskazanie, że 2 jest taką liczbą. Aczkolwiek są tacy ludzie, którzy twierdzą, że bezpośrednio doświadczyli Boga, sami teiści nie przykładają większej wagi teoretycznej do dowodów przebiegających wedle schematu (5). Ich argumentacje mają charakter bardziej wyrafinowany z logicznego punktu widzenia.
2. Analiza ontologicznych dowodów na istnienie Boga
Najogólniej rzecz ujmując, ontologiczny dowód istnienia Boga polega na wywiedzeniu Jego istnienia z Jego pojęcia. Rozważmy formułę:
(6) x jest Bogiem,
gdzie x jest zmienną indywiduową. Dla przeprowadzenia dowodu ontologicznego trzeba jakoś zdefiniować predykat „jest Bogiem”. Oczywistym sposobem jest skorzystanie z atrybutów Boga, np. przyjmowanych przez teologię. Niech symbol DAtr oznacza kolekcję bożych atrybutów. Zakładam (patrz wyżej), że DAtr jest konstrukcją niesprzeczną, co pociąga, że zbiór zdań wyrażających te atrybuty też jest konsystentny. Dalej rozważamy formułę:
(7) Dla każdego x, x jest Bogiem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest DAtr
(symbolicznie: ∀x(Bx ⇔ DAtr(x))).
Dowód ontologiczny ma wykazać, że DAtr(x), ewentualnie z dodatkowymi przesłankami, implikuje zdanie ∃x(DAtr(x)). Z uwagi na (7) jest to równoważne wyprowadzeniu (1*), czyli stwierdzeniu (po przejściu do zdania (1), używanego nieformalnie), że Bóg istnieje. Znanych jest wiele ontologicznych dowodów na istnienie Boga. Podali je m.in. Anzelm z Canterbury, Kartezjusz, Leibniz, jeśli chodzi o myślicieli dawniejszych, a współcześnie m.in. Ch. Hartshorne, K. Gödel i A. Plantinga, a krytykowali m.in. Tomasz z Akwinu i Kant25.
Dowód Anzelma przebiega następująco:
(8)(a) Mamy w umyśle pojęcie Boga jako bytu, od którego nic większego nie można pomyśleć;
(b) Bóg nie może istnieć tylko w umyśle, gdyż gdyby nie istniał w rzeczywistości, nie byłby pomyślany jako coś, od czego nic większego nie można pomyśleć;
(c) Bóg istnieje nie tylko w umyśle, ale także w rzeczywistości.
Z kolei dowód Gödla opiera się na pojęciu własności pozytywnej jako pojęciu pierwotnym. Intuicyjnie rzecz biorąc, atrybut pozytywny jest skontrastowany z negatywnym, tj. wyrażanym przez zaprzeczenie, lub prywatywnym, wyrażającym brak czegoś, np. wysoki – niewysoki, wysoki – niski. Dowód przebiega następująco (pomijam dowody twierdzeń):
(9)(a) Dana własność jest pozytywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej zaprzeczenie nie jest pozytywne;
(b) Własności pozytywne pociągają wyłącznie własności pozytywne;
(c) Boskość jest własnością pozytywną;
(d) Własności pozytywne są z konieczności pozytywne;
(e) Własność bycia bytem koniecznym jest pozytywna;
(f) Jest możliwe, że coś jest Bogiem;
(g) Jest możliwe, że coś jest Bogiem (twierdzenie);
(h) Podobieństwo do Boga jest istotą boskości (twierdzenie);
(i) Coś ma własność boskości (twierdzenie),
przy czym (9i) jest równoważne (1*).
Nim przejdę do analizy (8) i (9) w kontekście (7), przytoczę trzy typowe argumenty przeciwko ontologicznym dowodom na istnienie Boga (Everitt 2004, s. 51):
(10)(a) Istnienie nie jest predykatem (Kant);
(b) Zdania egzystencjalne należą do języka II rzędu;
(c) Zdania egzystencjalne nie są logicznie konieczne (teza empiryzmu).
Ad (10a). Obiekcja Kanta może być przedstawiona tak, że w formule (1*) moment egzystencjalny zawarty jest w kwantyfikatorze ∃, a nie w predykacie P.
Ad (10b). Frege zauważył, że zdania typu „istnieje a” nie należą do języka I rzędu (jak np. zdanie (1*)), ale do języka II rzędu. W konsekwencji istnienie może być wyrażone przez predykat, ale wtedy stosuje się do pojęć, a nie do rzeczy. Znaczy to, że mówiąc, „istnieje a”, wypowiadamy się o pojęciu. W naszym przykładzie, stwierdzając, że Bóg istnieje, uznajemy, że predykat „jest Bogiem” jest niepusty.
Ad (10c). Z jednej strony, poprzedzenie tautologii, np. formuły Px ∨ ¬Px, znakiem ∃ zachowuje tautologiczność, co znaczy, że formuła ∃x(Px ∨ ¬Px) jest twierdzeniem logiki. Z drugiej strony, przyjęte założenie, że stałe indywiduowe (nazwy własne) nie mogą być puste, na pewno nie jest wymuszone przez czystą logikę. Jest to dodatkowa racja dla (10c). W konsekwencji zdanie (2*) nie jest wewnętrznie sprzeczne, skoro zdanie (1*) nie jest konieczne. Jeśli jednak zdanie typu ∃xPx jest logicznie wywiedzione z jakiegoś zbioru X zawierającego przesłanki użyte w danej argumentacji, jest ono oczywiście konieczne z uwagi na ten zbiór, a jego negacja jest z nim niezgodna. Odróżnienie absolutnej logicznej konieczności, tj. prawdziwości we wszystkich modelach, oraz relatywnej logicznej konieczności, tj. prawdziwości w modelach wyznaczonych przez zbiór X, jest bardzo istotne.
Obiekcja Kanta, tradycyjnie przywoływana w analizie dowodów ontologicznych jako ważna, nie wydaje się specjalnie istotna z punktu widzenia logiki współczesnej. W rzeczy samej, nie ma żadnego powodu, aby domagać się przeprowadzenia dowodu ontologicznego tylko w języku I rzędu. Przekład (1) na język I rzędu, tj. formułę (1*), nie przesądza, że cały dowód ma pozostawać w tych ramach. (8a) powiada, że istnieje pojęcie Boga jako bytu mającego takie a takie własności, natomiast wszystkie zdania (9a)–(9i) są II rzędu, ponieważ dotyczą własności. Pogląd Fregego godzi w dowody ontologiczne tylko pod tym warunkiem, że są one przeprowadzane wyłącznie w języku I rzędu. Konsekwencje (10c) są o tyle istotne, że w dowodach ontologicznych powszechnie używana jest, explicite lub implicite, kategoria konieczności.
Niech symbol DAtrX oznacza zbiór zdań o bożych atrybutach uzupełniony dodatkowymi przesłankami potrzebnymi do przeprowadzenia dowodu ontologicznego. W przypadku dowodu Anzelma ten zbiór jest konstytuowany przez zdania (8)(a)–(b), a w przypadku dowodu Gödla – przez zdania (9)(a)–9(h)26. Założenie o niesprzeczności konstrukcji DAtr rozszerzamy na zbiór DAtrX. Skoro tak, można przyjąć, że zbiór ten ma model27. W konsekwencji denotacja predykatu „jest Bogiem” jest niepusta, a więc Bóg istnieje. Sukces teisty jest jednak nader umiarkowany, ponieważ dowód ontologiczny dotyczy modelu semantycznego zbioru DAtrX, podczas gdy intencją argumentacji było pokazanie, że Bóg jest bytem należącym do metafizycznego arsenału tego wszystkiego, co istnieje28. Jeśli przyjmiemy, że dowód Gödla odwołuje się (patrz (9g) do możliwości istnienia Boga i zastosujemy aksjomat (obowiązujący w systemie logiki modalnej S5):
(11) Jeśli