Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau. Matthias Krauß

Vergleich mit Gl. (2.21), d. h. mit der DGL für die Längsverschiebung, zeigt die formale Übereinstimmung der beiden Gleichungen. Man erhält daher für die Verdrehungen bei St. Venantscher Torsion den folgenden Funktionsverlauf im Stabelement (s. auch Bild 2.11):

      (2.27)

       Biegung um die z-Achse

      Wenn man gleichbleibende Querschnitte in den Stabelementen annimmt, ist EI_z = konst. und man erhält mithilfe von Tabelle 2.3 folgende Differentialgleichung:

      (2.28)

      Die viermalige Integration dieser DGL liefert:

(2.29)

Es ergibt sich also ein Polynom 3. Grades mit den vier Integrationskonstanten c₀ bis c₃, wenn man den Fall q_y = 0 betrachtet. Wie bei der „Beanspruchung durch Normalkräfte“ werden die Integrationskonstanten durch ingenieurmäßig anschauliche Verformungsgrößen ersetzt. Mechanisch sinnvoll ist es die Durchbiegungen und Verdrehungen an den Elementenden als Freiwerte zu wählen, da die Durchbiegungen über die Elementgrenzen hinweg stetig, d. h. ohne Knicke, durchgehen müssen. Wie in Bild 2.12 dargestellt lauten die gewählten Knotenfreiwerte: und . Unter Verwendung der Randbedingungen , und können die Integrationskonstanten in Gl. (2.29) ersetzt werden. Mit der dimensionslosen Koordinate ξ = x/ℓ erhält man die folgende Funktion für die Durchbiegung des Stabelementes in y-Richtung:

(2.30)

Gl. (2.30) ist ein Hermitesches Interpolationspolynom der Ordnung 2α = 4, da neben den Verschiebungen in den Punkten a und b auch die erste Ableitung zur Beschreibung der Durchbiegung verwendet wird.

Bild 2.12 Stabelement und Formfunktionen f(ξ) für die Durchbiegung v_M(ξ)

       Biegung um die y-Achse

      Wie Tabelle 2.3 zeigt, ist dieser Beanspruchungsfall unmittelbar mit der Biegung um die z-Achse vergleichbar. Bei analoger Vorgehensweise erhält man die folgende Funktion für die Durchbiegungen wM(ξ) des Stabelementes in z-Richtung:

(2.31)

Die Formfunktionen f₁ bis f₄ können Bild 2.12 entnommen werden, da sie für die Durchbiegung w_M(ξ) und v_M(ξ) identisch sind. Die negativen Vorzeichen in Gl. (2.31) ergeben sich, weil für die Winkel und gilt.

2.5.3 Trigonometrische und Hyperbelfunktionen für Stabelemente

      Im Folgenden wird für drei Sonderfälle gezeigt, dass in den Funktionen für die Ver-formungen auch folgende Funktionen vorkommen können:

       Trigonometrische Funktionen: sin x und cos x

       Hyperbelfunktionen: sinh x und cosh x

Biegung mit Drucknormalkraft nach Theorie II. Ordnung und Stabilitätsfall Biegeknicken

      Nach Abschnitt 2.4.4, Gl. (2.15), lautet die DGL für die Durchbiegungen in z-Richtung:

      (2.32)

      Bekanntlich setzt sich die Lösung dieser DGL aus zwei Anteilen zusammen:

      (2.33)

      Der erste Term beschreibt die Lösung der homogenen DGL, also für q_z = 0, und der zweite die partikuläre Lösung. Nach [26] erhält man mit x = ξ ⋅ ℓ:

      (2.34)

      Wie in Abschnitt 2.5.2 können die Integrationskonstanten c₀ bis c₃ durch ingenieurmäßig anschauliche Verformungsgrößen ersetzt werden. Mit

      (2.35a-d)

      erhält man die folgende Funktion für die Durchbiegung eines Stabelementes, das durch eine Drucknormalkraft und eine Gleichstreckenlast beansprucht wird:

(2.36)

      Mit:

Gl. (2.36) für ein „Biegeknick-Stabelement“ ist im Vergleich zu Gl. (2.31) für das rein auf Biegung beanspruchte Stabelement wesentlich länger und daher im Hinblick auf die weitere Verwendung erheblich aufwändiger. Bei der FEM wird sie jedoch erfreulicherweise nur selten benötigt. An dieser Stelle soll nur gezeigt werden, wie die genaue Lösung der Verformungsfunktion für das Biegeknicken lautet. In Abschnitt 4.6 wird die genaue Lösung der DGL zur Herleitung der Steifigkeitsmatrix nach Theorie II. Ordnung erneut herangezogen.

      Mit N = 0 bzw. ε_D = 0 kann