Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau. Matthias Krauß

Gl. (2.31) überführt werden. Dies ist allerdings nicht unmittelbar durch Einsetzen möglich, weil unbestimmte Ausdrücke der Form „0/0“ auftreten. Auch die Lösung mit der Grenzwertregel von Bernoulli und del´Hospital

      (2.37)

      ist aufwändig und in der Regel mehrmals anzuwenden. Mit den Reihenentwicklungen

      (2.38)

      (2.39)

      für die trigonometrischen Funktionen ist der Zusammenhang zwischen den Gl. (2.36) und (2.31) erkennbar. Da Gl. (2.36) für ε_D → 0 in Gl. (2.31) übergeht, kann Gl. (2.36) für kleine Stabkennzahlen näherungsweise durch die Polynomfunktion, ersetzt werden. Durch eine entsprechend feine FE-Modellierung kann man stets erreichen, dass ε_D klein ist, weil bei diesem Parameter die Elementlänge ℓ eingeht. Wie in Abschnitt 4.6 näher erläutert, ist die Näherung mit der Polynomfunktion Gl. (2.31) aus-reichend genau, wenn die Bedingung

      (2.40)

Bild 2.13 Vergleich der Polynomfunktion Gl. (2.31) mit Gl. (2.36) für ε_D = 1

eingehalten wird. Bild 2.13 zeigt die Abweichung zwischen der Polynomfunktion in Bezug auf die genaue Durchbiegungsfunktion Gl. (2.36) für ε_D = 1. Die Funktionen f₃ und f₄ sind nicht dargestellt, da die Abweichungen denen der Funktionen f₁ und f₂ entsprechen, siehe auch Bild 2.12. Wie man sieht sind die Abweichungen mit bis zu 2,5 % gering.

       Biegung mit Zugnormalkraft nach Theorie II. Ordnung

      Im Vergleich zu dem zuvor behandelten Beanspruchungsfall mit einer Drucknormalkraft wird hier der Einfluss einer Zugnormalkraft untersucht. Für die DGL (2.16)

(2.41)

      ergibt sich als Lösung

(2.42)

      Alle Lösungen für die Theorie II. Ordnung mit Druckkraft (ND) können in Lösungen für die Theorie II. Ordnung mit Zugkraft (NZ) umgerechnet werden. Mit

      (2.43)

      erhält man

(2.44)

In Gl. (2.44) ist „i“ die imaginäre Einheit mit i² = ‒1. Bei der Umrechnung werden in der Regel nur folgende Beziehungen benötigt:

      (2.45)

      (2.46)

      (2.47)

      Mit diesen Beziehungen kann Gl. (2.36) problemlos umgerechnet werden, worauf hier jedoch verzichtet wird. Zur Vervollständigung seien auch die Reihenentwicklungen der Hyperbelfunktionen angegeben:

      (2.48)

      (2.49)

Auch bei der Theorie II. Ordnung mit Zugnormalkraft kann eine Näherung mit der Polynomfunktion (2.31) verwendet werden. Bei der Wahl der Elementlänge ℓ ist dann die Bedingung

      (2.50)

      zu beachten. Auf weitere Einzelheiten zur Verwendung der Näherung wird in Abschnitt 4.6 eingegangen.

       Wölbkrafttorsion

      Für die Wölbkrafttorsion ergibt sich mit Tabelle 2.3 und der Annahme konstanter Steifigkeiten im Stabelement die folgende DGL:

      (2.51)

      Wenn man nun eine Stabkennzahl

      (2.52)

      für Torsion definiert, ergibt sich die DGL

      (2.53)

die mit der DGL (2.41) formal übereinstimmt. Ihre Lösung führt daher zu einer Funktion ϑ(ξ), die wie bei der „Biegung mit Zugnormalkraft nach Theorie II. Ordnung“ die Hyperbelfunktionen sinh(ε_T ⋅ ξ) und cosh(ε_T ⋅ ξ) enthält und im Übrigen formal mit Gl. (2.42) übereinstimmt. Die Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix für die Wölbkrafttorsion erfolgt in Abschnitt 3.2.4.

       Biegedrillknicken und andere kombinierte Beanspruchungen

      Bis auf die zuvor betrachteten Sonderfälle liegen keine weiteren Lösungen für andere Problemstellungen vor. Dennoch kann davon ausgegangen werden, dass beim Biegedrillknicken und auch bei kombinierten Beanspruchungen, die Untersuchungen